Materi SPLTV

 

MATERI SPLTV (SISTEM PERSAMAAN LINIER TIGA VARIABEL)

A.    Menyusun dan menemukan Konsep Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Sebelum ke bagaimana cara menyusun model matematika dari Sitem Persamaan Linear Tiga Variabel, mari kita kenali dulu apa itu Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel, yang selanjutnya kita sebut SPLTV. SPLTV adalah Sekelompok persamaan matematika yang terdiri atas 3 persamaan linear yang juga masing-masing persamaanya memiliki tiga variable dan saling berkaitan. Disebut persamaan linear karena setiap persamaannya memiliki pangkat tertinggi satu.

§  Bentuk Umum dari SPLTV seperti terlihat di bawah ini:

𝑎₁𝑥 + 𝑏₁𝑦 + 𝑐₁𝑧 = 𝑑₁

𝑎₂𝑥 + 𝑏₂𝑦 + 𝑐₂𝑧 = 𝑑₂

𝑎₃𝑥 + 𝑏₃𝑦 + 𝑐₃𝑧 = 𝑑₃

𝑎𝑖 ,𝑏𝑖 ,𝑐𝑖 , 𝑑𝑎𝑛 𝑑𝑖 untuk i =1, 2 , 3 merupakan bilangan sebenarnya atau nyata.

Keterangan:

𝑎𝑖 ,𝑏𝑖 ,𝑐𝑖 = koefisien

x, y, z = variable

𝑑𝑖 = konstanta

§  Hal-hal yang berubungan dengan SPLTV

Memuat komponen-komponen tertenut, yaitu : suku, variabel koofisien dan konstanta.

1.      Suku

Suku merupakan sebuah bagian dari suatu bentuk aljabar yang terdiri atas variabel, koefisien dan konstanta. Setiap suku dipisahkan dengan menggunakan tanda baca penjumlahan maupun pengurangan.

Contoh : 6x – y + 4z + 7 = 0, maka suku–suku dari persamaan tersebut yaitu 6x , -y, 4z dan 7.

2.      Variabel

Variabel merupakan peubah atau pengganti dari suatu bilangan yang pada umumnya dilambangkan dengan pemakaian huruf seperti x, y dan z.

Contoh:

Yulisa mempunyai 2 buah apel, 5 buah mangga dan 6 buah jeruk.

Apabila kita tulis dalam bentuk persamaan maka:

Contoh : apel = x , mangga = y dan jeruk = z, sehingga persamannya yaitu 2x + 5y + 6z.

3.      Koefisien

Koefisien merupakan sebuah bilangan yang menyatakan banyaknya suatu jumlah variabel yang sejenis. Koefisien disebut juga sebagai bilangan yang terdapat di depan variabel, sebab penulisan dari suatu persamaan koefisien berada di depan variabel.

Contoh:

Gilang mempunyai 2 buah apel, 5 buah mangga dan 6 buah jeruk. Apabila kita tuliskan ke dalam bentuk persamaan maka:

Contoh: apel = x , mangga = y dan jeruk = z, sehingga persamannya yaitu 2x + 5y + 6z.

Dari persamaan tersebut, maka dapat diketahui bahwa 2, 5 dan 6 merupakan koefisien di mana 2 merupakan koefisien x , 5 merupakan koefisien y serta 6 merupakan koefisien z.

4.       Konstanta

Konstanta merupakan sebuah bilangan yang tidak diikuti dengan variabel, sehingga akan mempunyai nilai yang tetap atau konstan untuk berapa pun nilai variabel atau peubahnya.

Contoh:

2x + 5y + 6z + 7 = 0, dari persamaan tersebut konstantanya yaitu 7. Sebab, 7 nilainya tetap dan tidak terpengaruh dengan berapa pun variabelnya.

 

§  Terdapat persamaan sebagai berikut:

2x + y + z = 6

                  p – q + 3r = 4

                  3x + 2y – z = 7 

Apakah ketiga persamaan di atas dapat disebut sistem persamaan linear tiga variable?

Jawab:

 2x + y + z = 6 ……. (i)

                   p – q + 3r = 4 ……..(ii)

                   3x + 2y – z = 7  …….(iii)

                  Perhatikan dengan teliti ketiga persamaan di atas :

Persamaan (i) memiliki tiga variable yaitu x, y, dan z

Persamaan (ii) memiliki tiga variable yaitu p, q, dan r

Persamaan (iii) memiliki tiga variable yaitu x, y, dan z

Meskipun ketiga persamaan di atas memiliki tiga variable setiap barisnya, namun persamaan (ii) memiliki variable yang berbeda dengan persamaan (i) dan (iii), hal ini TIDAK dapat dikatakan SPLTV karena TIDAK saling berhubungan, atau salah satu persamaanya memiliki variable yang berbeda.

Shingga :

Syarat sistem persamaan linear tiga variabel memiliki satu himpunan, yaitu: 

1.      Terdapat lebih dari satu atau ada tiga persamaan linear tiga variabel yang sejenis.

2.      Persamaan linear tiga variabel yang membentuk SPLTV, bukan merupakan persamaan linear tiga variabel yang sama.

 

§  Cara menyusun SPLTV atau model matematika

Contoh 1:

Santi membeli 3 buah buku, 2 buah pensil, dan 1 buah penghapus seharga Rp. 15.000. Alternatif penyelesaian :

Jika soal di atas dibuatkan model matematikanya, maka pertama-tama buat pemisalan terlebih dahulu

Misal: Buku = x (dalam hal ini huruf (variabel) boleh apa saja tidak harus x, y, atau z)

Pensil = y

Penghapus = z

Maka model matematikanya menjadi seperti berikut: 3x + 2y + z = 15000

 

B.     Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Untuk menyelesaikan SPLTV,

Ada tiga metode penyelesaian SPLTV, yaitu:

1. Metode Substitusi (pengganti)

2. Metode Eliminasi (menghilangkan salah satu variabel)

3. Metode gabungan (substitusi dan eliminasi)

Metode Substitusi (pengganti)

Contoh soal:

x + y + z = 2 ......... (i)

2x – y – z = 4 ......... (ii)

x + 2y + 3z = 1 ......(iii)

Penyelesaian:

Ubahlah salah satu persamaan yang dianggap sederhana menjadi persamaan baru, dalam persoalan di atas yg akan di ubah adalah persamaan (i)

x + y + z = 2 (menjadi)

z = – x – y + 2 ........ (iv) (ini adalah pers baru hasil perubahan, diperoleh nilai z yang baru)

 

substitusikan pers (iv) ke pers (ii)

2x – y – z = 4 .........(ii) (variabel z diganti oleh nilai z yang baru (– x – y + 2)) sehingga

2x – y – x – y + 2 = 4 (operasikan setiap suku yg sama) sehingga

x – 2y + 2 = 4 (tinggalkan x di ruas kiri, sementara yang lainnya pindahruaskan)

x = 2y + 2 ......... (v) (terbentuk persamaan(v))

 

substitusikan pers (v) ke pers (iii)

x + 2y + 3z = 1 ............ (iii) (ganti variabel x, oleh nilai x yang baru (2y + 2)) sehingga

2y + 2 + 2y + 3z = 1 (operasikan setiap suku yg sama) sehingga

4y + 3z = -1 ........ (vi) (terbentuk persamaan (vi))

 

Substitusikan pers (iv) ke pers (vi)

4y + 3z = -1 ........ (vi) (ganti nilai z oleh nilai z yang baru (– x – y + 2)) sehingga

4y + 3(-x – y + 2) = -1 (operasikan) sehingga terbentuk persamaan baru

4y – 3x – 3y + 6 = -1

y – 3x = -5

y = 3x – 5 ......... (vii) (persamaan baru atau nilai y yang baru)

 

substitusikan pers (vii) ke pers (v)

x = 2y + 2 ......... (v) (ganti variabel y, dengan nilai y yang baru (y = 3x – 5)

x = 2(3x – 5) (operasikan sehingga diperoleh nilai salah satu variabel)

 x = 6x – 10

-5x = - 10 x = 2

Nilai x sudah diperoleh yaitu 2, dan dapat disubstitusikan ke persamaan (vii) Masukan nilai x ke persamaan (vii)

y = 3x – 5

y = 3(2) – 5

y = 1

Nilai x dan y sudah diperoleh yaitu 2 dan 1, dan dapat disubstitusikan ke persamaan (iv) untuk mencari nilai z

 z = – x – y + 2

z = - 2 – 1 + 2

z = - 1

jadi penyelesaiannya adalah x = 2, y = 1, dan z = -1